Különbség a számtani sorrend és a geometriai sorrend között

Aritmetikai szekvencia vs geometriai szekvencia
 

A számok mintáinak és viselkedésének vizsgálata fontos tanulmány a matematika területén. Ezek a minták gyakran megfigyelhetők a természetben, és segít megmagyarázni viselkedésüket tudományos szempontból. A számtani szekvenciák és a geometriai szekvenciák két alapvető mintázat, amelyek számokban fordulnak elő, és gyakran megtalálhatók a természeti jelenségekben.

A sorozat rendezett számok halmaza. Az elemek száma a sorozatban lehet véges vagy végtelen.

További információ a számtani sorrendről (számtani előrehaladás)

A számtani sorozatot olyan szám-sorozatként definiálják, amelynek állandó különbsége van az egymást követő kifejezések között. Aritmetikai progressziónak is nevezik.

Aritmetikai sorrend ⇒ a₁, egy₂, egy_3, egy₄,…, A_n ; hol egy₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d, és így tovább.

Ha a kezdeti kifejezés a₁ és a közös különbség d, akkor n^th a szekvencia időtartamát adja meg;

egy_n = a₁ + (N-1) d

A fenti eredmény továbbfejlesztésével az n^th a kifejezés megadható úgy is, mint;

egy_n = a_m + (N-m) d, hol egy_m egy véletlenszerű kifejezés a sorrendben úgy, hogy n> m.

A páros számok és a páratlan számok a számtani sorozatok legegyszerűbb példái, ahol mindegyik sorozat közös különbsége (d) 2.

A sorozat tagjainak száma lehet végtelen vagy véges. Végtelen esetben (n → ∞) a szekvencia a közös különbségtől függően a végtelenségig hajlik (a_n → ± ∞). Ha a közös különbség pozitív (d> 0), akkor a sorozat pozitív végtelenségre hajlik, és ha a közös különbség negatív (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

A számtani sorrendben szereplő kifejezések összege számtani sorozatként ismert: S_n= a₁ + egy₂ + egy₃ + egy₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1 → n} egy_én; és S_n = (n / 2) (a₁ + egy_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] a sorozat értékét adja meg (S_n).

További információ a geometriai szekvenciáról (geometriai progresszió)

A geometriai szekvencia olyan szekvencia, amelyben a két egymást követő kifejezés hányadosa állandó. Ezt geometriai progressziónak is nevezik.

Geometriai sorrend ⇒ a₁, egy₂, egy₃, egy₄,…, A_n; hol egy₂/ a₁ = r, a₃/ a₂ = r, és így tovább, ahol r valós szám.

A geometriai sorrendet könnyebb ábrázolni a közös arány (r) és a kezdeti kifejezés (a) felhasználásával. Így a geometriai sorrend sequence a₁, egy₁r, a₁r², egy₁r³,…, A₁r^N-1.

Az n általános alakja^th az a által megadott kifejezések_n = a₁r^N-1. (A kezdeti kifejezés alindexének elvesztése ⇒ a_n = ar^N-1)

A geometriai sorrend lehet véges vagy végtelen is. Ha a kifejezések száma véges, akkor a sorozatot végesnek mondják. És ha a kifejezések végtelenek, a szekvencia az r aránytól függően akár végtelen, akár véges lehet. A közös arány a geometriai szekvenciák sok tulajdonságát befolyásolja. 

r> o	0 < r < +1	A szekvencia konvergál - exponenciális hanyatlás, azaz an → 0, n → ∞
	r = 1	Állandó szekvencia, azaz an = állandó
	r> 1	A szekvencia eltér - exponenciális növekedés, azaz an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	A sorozat oszcillál, de konvergál
	r = 1	A sorrend váltakozó és állandó, azaz an = ± állandó
	r < -1	A sorrend váltakozó és eltérő. vagyis an → ± ∞, n → ∞
r = 0	A sorozat egy nulla karakterlánc

N.B: A fenti esetekben a₁ > 0; Ha egy₁ < 0, the signs related to a_n fordított lesz.

A labda visszapattanása közötti időintervallum az ideális modellben egy geometriai sorrendet követi, és ez egy konvergens sorozat.

A geometriai sorrend kifejezéseinek összege geometriai sorozatként ismert; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1 → n} ar^én. A geometriai sorok összegét a következő képlettel lehet kiszámítani.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-R); ahol a a kezdeti kifejezés és r az arány.

Ha az arány r ≤ 1, akkor a sorozat konvergál. Végtelen sorozat esetén a konvergencia értékét S adja meg_n = a / (1-r) 

Mi a különbség a számtani és a geometriai szekvencia / progresszió között??

• Aritmetikai sorrendben bármelyik két egymást követő kifejezésnek közös különbsége van (d), míg geometriai sorrendben a két egymást követő kifejezés állandó hányadosú (r).

• Aritmetikai sorrendben a kifejezések variációja lineáris, azaz egy pontot lehet húzni, amely minden ponton áthalad. Egy geometriai sorozatban a variáció exponenciális; vagy a közös arány alapján növekszik, vagy csökken.

• Az összes végtelen számtani sorrend eltérő, míg a végtelen geometriai sorok lehetnek divergensek vagy konvergensek.

• A geometriai sorozat rezgést mutathat, ha az r arány negatív, míg a számtani sorozat nem mutat oszcillációt