Különbség a lineáris és a nemlineáris differenciálegyenletek között

Lineáris vs. nemlineáris differenciálegyenletek
 

Legalább egy differenciális együtthatót vagy ismeretlen változó származékát tartalmazó egyenletet differenciálegyenletnek nevezzük. A differenciálegyenlet lehet lineáris vagy nemlineáris. A cikk célja annak magyarázata, hogy mi a lineáris differenciálegyenlet, mi a nemlineáris differenciálegyenlet, és mi a különbség a lineáris és nemlineáris differenciálegyenletek között.

Mivel a matematikusok a 18. században kifejlesztették a matematikusokat, mint Newton és Leibnitz, a differenciálegyenlet fontos szerepet játszott a matematika történetében. A differenciálegyenletek nagy jelentőséggel bírnak a matematikában alkalmazási köre miatt. A differenciálegyenletek minden olyan modell középpontjában állnak, amelyet kifejlesztünk, hogy megmagyarázzuk a világ bármely forgatókönyvét vagy eseményét, függetlenül attól, hogy a fizikában, a mérnöki munkában, a kémiában, a statisztikában, a pénzügyi elemzésben vagy a biológiában vannak (a lista végtelen). Valójában, amíg a kalkulus megalapozott elméletgé nem vált, megfelelő matematikai eszközök nem álltak rendelkezésre a természet érdekes problémáinak elemzésére.

A számítás egy adott alkalmazásából származó egyenletek nagyon összetettek lehetnek, és néha nem oldhatók meg. Vannak olyanok is, amelyeket meg tudunk oldani, de hasonlónak és zavarónak tűnhetnek. Ezért a könnyebb azonosítás érdekében a differenciálegyenleteket matematikai viselkedésük alapján kategorizáljuk. A lineáris és a nemlineáris az egyik ilyen kategorizálás. Fontos azonosítani a különbséget a lineáris és a nemlineáris differenciálegyenletek között.

Mi az a lineáris differenciálegyenlet??

Feltételezem, hogy f: X → Y és f (x) = y, a differenciálegyenlet az ismeretlen függvény nemlineáris kifejezései nélkül y és annak származékai lineáris differenciálegyenletként ismertek.

Azt a feltételt írja elő, hogy y-nek nem lehet magasabb index kifejezése, például y², y³,… És többszörös származékok, mint például 

Nem tartalmazhat olyan nem lineáris kifejezéseket, mint például a Sin y, e^{y^ -2}, vagy ln y. Ez a forma, 

hol y és g a x. Az egyenlet a rend differenciálegyenlete n, amely a legmagasabb rendű származék indexe.

Lineáris differenciálegyenletben a differenciálművelet egy lineáris operátor, és a megoldások vektor teret képeznek. A megoldáskészlet lineáris jellege eredményeként a megoldások lineáris kombinációja szintén megoldás a differenciálegyenletre. Vagyis ha y₁ és y₂ akkor a differenciálegyenlet megoldásai C₁ y₁+ C₂ y₂ szintén megoldás.

Az egyenlet linearitása csak az osztályozás egyik paramétere, és tovább osztható homogén vagy nem homogén, valamint rendes vagy részleges differenciálegyenletekre. Ha a funkció g= 0, akkor az egyenlet egy lineáris homogén differenciálegyenlet. Ha f két vagy több független változó függvénye (f: X, T → Y) és f (x, t) = y , akkor az egyenlet egy lineáris parciális differenciálegyenlet.

A differenciálegyenlet megoldási módszere a differenciálegyenlet típusától és együtthatóitól függ. A legegyszerűbb eset akkor fordul elő, ha az együtthatók állandóak. Klasszikus példa erre az esetre a Newton második mozgási törvénye és annak különféle alkalmazásai. Newton második törvénye egy másodrendű lineáris differenciálegyenletet állít elő állandó együtthatókkal.

Mi a nemlineáris differenciálegyenlet??

A nemlineáris kifejezéseket tartalmazó egyenleteket nemlineáris differenciálegyenleteknek nevezzük.

 

A fentiek nemlineáris differenciálegyenletek. A nemlineáris differenciálegyenleteket nehéz megoldani, ezért a helyes megoldáshoz szoros tanulmányozásra van szükség. Részleges differenciálegyenletek esetén az egyenletek többségének nincs általános megoldása. Ezért minden egyenletet külön kell kezelni.

A Navier-Stokes-egyenlet és az Euler-egyenlet a folyadékdinamikában, az Einstein általános relativitáselmélet-egyenletei közismert nemlineáris parciális differenciálegyenletek. A Lagrange-egyenletnek a változó rendszerekre történő alkalmazása néha nemlineáris parciális differenciálegyenletek rendszerét eredményezheti.

Mi a különbség a lineáris és a nemlineáris differenciálegyenletek között??

• Egy olyan differenciálegyenletet, amely csak az ismeretlen vagy függő változó és származékainak lineáris kifejezéseit tartalmazza, lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Nincs kifejezése az 1-nél nagyobb index függõ változójával, és nem tartalmaz többszörös származékait. Nem lehet nemlineáris függvény, például trigonometrikus függvények, exponenciális függvény és logaritmikus függvények a függő változóhoz viszonyítva. Bármely differenciálegyenlet, amely a fent említett kifejezéseket tartalmazza, nemlineáris differenciálegyenlet.

• A lineáris differenciálegyenletek megoldásai létrehozják a vektor teret, és a differenciálművelet lineáris operátor is a vektor térben.

• A lineáris differenciálegyenletek megoldása viszonylag könnyebb, és léteznek általános megoldások. A nemlineáris egyenleteknél a legtöbb esetben az általános megoldás nem létezik, és a megoldás problémás lehet. Ez megnehezíti a megoldást, mint a lineáris egyenletek.