Az ortogonális és az ortonormális különbség

Ortogonális vs Orthonormal

A matematikában az ortogonális és az ortonormális két szót gyakran használják vektorok halmazával együtt. Itt a 'vektor' kifejezést abban az értelemben használjuk, hogy ez egy vektor tér eleme - egy lineáris algebrában használt algebrai struktúra. Megbeszélésünk során megvizsgáljuk a termék belső térét - egy vektor teret V egy belső termékkel együtt [] meghatározva V.

Például egy belső terméknél a tér az összes háromdimenziós helyzetvektor halmaza a szokásos ponttermékkel együtt.

Mi az ortogonális??

Nem üres részhalmaz S egy belső terméktér V azt mondják, hogy merőleges, ha és csak akkor, ha mindegyikre különböző u, v ban ben S, [u, v] = 0; azaz a u és v egyenlő a nulla skalárral a belső terméktérben.

Például az összes háromdimenziós helyzetvektor halmazában ez egyenértékű azzal, hogy azt állítják, hogy minden helyzetvektor különálló párra p és q S-ben, p és q merőlegesek egymásra. (Ne feledje, hogy ezen vektortér belső terméke pontpont szorzata. Két vektor pontterméke akkor is nullával egyenlő, ha és csak akkor, ha a két vektor merőleges egymással.)

Vegye figyelembe a készletet S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), amely a háromdimenziós helyzetvektorok részhalmaza. Vegye figyelembe, hogy (0,2,0) (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 és (0,2,0).(0,0,5) = 0. Ezért a készlet S ortogonális. Közelebbről, két vektorról merülnek fel, hogy ortogonálisak, ha a belső szorzata 0. Ezért mindegyik vektorpár van Sortogonális.

Mi az ortonormális??

Nem üres részhalmaz S egy belső terméktér V akkor és csak akkor ortonormális S ortogonális és minden vektor esetében u ban ben S, [u, u] = 1. Ezért látható, hogy minden ortonormális halmaz ortogonális, de nem fordítva.

Például az összes háromdimenziós helyzetvektor halmazában ez egyenértékű azzal, hogy azt állítják, hogy minden helyzetvektor különálló párra p és q ban ben S, p és q merőlegesek egymásra és mindegyikre p ban ben S, | P | = 1. Ennek oka az a körülmény [p, p] = 1-re csökken p.p = | p || p |cos0 = | P |²= 1, ami egyenértékű | P | = 1. Ezért, ha egy ortogonális halmazt képezünk, akkor mindig megfelelő ortonormális halmazt képezhetünk úgy, hogy minden vektort elosztunk a nagyságával.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) az összes háromdimenziós helyzetvektor halmazának ortonormális részhalmaza. Könnyű belátni, hogy azt a készletben levő vektorok elosztásával nyerték S, nagyságrendjük szerint.

Mi a különbség az ortogonális és az ortonormális között??

• Nem üres részhalmaz S egy belső terméktér V azt mondják, hogy ortogonális, ha és csak akkor, ha mindegyik különálló elemre vonatkozik u, v ban ben S, [u, v] = 0. Azonban ortonormális, ha és csak akkor, ha egy további feltétel - minden vektorra u ban ben S, [u, u] = 1 elégedett.
• Bármely ortonormális halmaz ortogonális, de nem fordítva.
• Bármely ortogonális halmaz megfelel egy egyedi ortonormális halmaznak, de az ortogonális halmaz sok ortogonális halmaznak felel meg..