Különbség a határozott és a határozatlan integrálok között

A kalkulus a matematika egyik fontos ága, és a differenciálás kritikus szerepet játszik a kalkulusban. A differenciálás fordított folyamatát integrációnak nevezzük, a fordítottot pedig integrálnak, vagy egyszerűen fogalmazva, a differenciálódás inverzét adjuk integrálnak. Az eredmények alapján az integrálokat két osztályba osztják, nevezetesen: határozott és határozatlan integrálokat.

Határozottan integrál

A f (x) egy SZÁM, és a görbe alatti területet jelöli f (x) tól től x = a nak nek X = b.

Egy határozott integrálnak van felső és alsó határa az integrálokon, és azt nevezzük határozottnak, mert a probléma végén van egy számunk - ez egy határozott válasz.

Határtalan integrál

Az f (x) meghatározatlan integrálja FUNKCIÓ, és válaszol a következő kérdésre: „Milyen függvény ad, ha differenciált f (x)?”

Határozatlan integrállal itt nincs felső és alsó határ az integrálon, és amit egy olyan választ kapunk, amelyre még mindig van xbenne van, és állandó lesz (általában a C) benne.

A határozatlan integrál általában egy általános megoldást ad a differenciálegyenletre.

A határozatlan integrál inkább az integráció általános formája, és úgy értelmezhető, mint a vizsgált funkció anti-származéka..

Tegyük fel a függvény differenciálódását F egy másik funkcióhoz vezet f, és f integrációja adja az integrált. Szimbolikusan ezt így írják

F (x) = ∫ƒ (x) dx

vagy

F = ∫ƒ dx

ahol mindkettő F és ƒ a x, és F megkülönböztethető. A fenti formában Reimann-integrálnak nevezzük, és a kapott függvény tetszőleges állandót kísér.

A határozatlan integrál gyakran funkciócsaládot hoz létre; ezért az integrál határozatlan.

Az integrálok és az integrációs folyamat a differenciálegyenletek megoldásának központi eleme. A differenciálás lépéseivel ellentétben az integráció lépései azonban nem mindig egyértelmű és szabványos rutinot követnek. Időnként azt látjuk, hogy a megoldást nem lehet kifejezetten kifejezni az alapvető funkció szempontjából. Ebben az esetben az analitikai oldatot gyakran határozatlan integrál formájában adják meg.

A kalkulus alaptétele

A határozott és a határozatlan integrált a Calculus alapelve az alábbiak szerint köti össze: határozott integrál, Találd meg határozatlan integrál (amely anti-származékként is ismert) a függvény és értékelje a végpontokon x = a és X = b.

A határozott és a határozatlan integrálok közötti különbség nyilvánvalóvá válik, amikor ugyanazon függvény integrálokat értékelik.

Vegye figyelembe a következő integrált elemet

RENDBEN. Csináljuk mindkettőt, és nézzük meg a különbséget.

Az integrációhoz hozzá kell adnunk egyet az indexhez, amely a következő kifejezéshez vezet:

Ezen a ponton C pusztán állandó számunkra. A pontos érték meghatározásához további információkra van szükség a probléma megoldásához C.

Vizsgáljuk meg ugyanazt az integráltát határozott formájában, azaz a felső és az alsó határértékekkel együtt.

Grafikailag most kiszámoljuk a görbe alatti területet f (x) = y³ között y = 2 és y = 3.

Ennek az értékelésnek az első lépése megegyezik a határozatlan idejű integrált értékeléssel. Az egyetlen különbség az, hogy ebben az időben nem adunk hozzá állandót C.

A kifejezés ebben az esetben a következőképpen néz ki:

Ez viszont:

Lényegében a kifejezésben 3-at, majd 2-et helyettesítettünk, és megkaptuk a különbséget közöttük.

Ez a határozott érték, szemben az állandó használatával C korábban.

Vizsgáljuk meg az állandó tényezőt (a határozatlan integrál szempontjából) részletesebben.

Ha a y³ jelentése 3y², azután

∫3y²dy = y³

azonban, 3y² sok kifejezés differenciája lehet, amelyek közül néhány beletartozik y³-5, y³+7, stb. .. Ez azt jelenti, hogy a megfordítás nem egyedi, mivel az állandó értéket a művelet során nem veszik figyelembe.

Tehát általában, 3y² a különbség y³+C hol C bármilyen állandó. Egyébként a C nevén „integrációs állandó”.

Ezt úgy írjuk:

∫ 3y².dx = y³ + C

A határozatlan integrálási integrációs technikák, például az asztali keresés vagy a Risch-integráció, új megszakításokat adhatnak az integrációs folyamat során. Ezek az új folytonosságok azért jelennek meg, mert az antiderivatívák összetett logaritmusok bevezetését tehetik szükségessé.

A komplex logaritmusok ugrási folytonosságot mutatnak, amikor az argumentum keresztezi a negatív valós tengelyt, és az integrációs algoritmusok néha nem találnak reprezentációt, ahol ezek az ugrások megszakítják.

Ha a határozott integrált úgy értékelik, hogy először meghatározatlan integrált számol, majd az integrációs határokat kicseréli az eredményre, akkor tisztában kell lennie azzal, hogy a határozatlan integráció folytonosságot eredményezhet. Ha igen, akkor meg kell vizsgálnunk az integrációs intervallum folytonosságát is.