Különbség a racionális és az irracionális számok között

A „számok” kifejezés felhívja a figyelmét arra, amit általában nullánál nagyobb pozitív egész értékekként osztályoznak. A számok más osztályai tartalmazzák egész számok és frakciók, összetett és valós számok és még negatív egész számok.

A számok osztályozásának további kibővítésével szembesülünk racionális és irracionális számokat. A racionális szám egy szám, amelyet frakcióként lehet írni. Más szavakkal, a racionális számot két szám arányában lehet írni.

Vegyük például a számot 6. Írható két szám hányadosaként. 6 és 1, ami az arányhoz vezet 6/1. Hasonlóképpen, 2/3, amelyet törtként írnak, egy racionális szám.

Így meghatározhatunk egy racionális számot egy tört formájában írt számként, ahol mind a számláló (a tetején lévõ szám), mind a nevező (az alsó szám) egész számok. Ezért definíció szerint minden egész szám ésszerű szám.

Két nagy szám, például (129367871)/(547724863) példa lenne egy racionális számra azon az egyszerű oknál fogva, hogy mind a számláló, mind a nevező egész számok.

Ezzel szemben minden olyan számot, amelyet nem lehet frakció vagy arány formájában kifejezni, irracionálisnak nevezik. Az irracionális szám leggyakrabban említett példája √2 (1.414213…). Az irracionális szám másik népszerű példája a numerikus állandó π (3.141592 ... ).

Az irracionális szám decimálisan írható, de nem törteként. Az irracionális számokat nem használják gyakran a mindennapi életben, bár léteznek a számsoron. Végtelen számú irracionális szám van között 0 és 1 a számsoron. Az irracionális szám végtelen nem ismétlődő számjegyekkel rendelkezik a tizedespont jobb oldalán.

Vegye figyelembe, hogy a gyakran említett érték 22/7 az állandóért π valójában csak az egyik értéke π. Meghatározása szerint egy kör kerülete, osztva a sugár kétszeresével, π értékkel bír. Ez több értékhez vezet π, beleértve, de nem korlátozva, 333/106, 355/113 és így tovább1.

Csak a négyzet számok négyzetgyökerei; azaz a tökéletes négyzetek ésszerűek.

√1= 1 (Racionális)

√2 (Irracionális)

√3 (Irracionális)

√4 = 2 (Racionális)

√5, √6, √7, √8 (Irracionális)

√9 = 3 (Racionális) és így tovább.

Továbbá megjegyezzük, hogy csak a nth gyökerei nA hatalmak ésszerűek. Így a 6. gyökere 64 ésszerű, mert 64 egy 6. hatalom, nevezetesen a 6. ereje valaminek 2. De a 6. gyökere 63 irracionális. 63 nem tökéletes 6th erő.

Elkerülhetetlenül az irracionalisták decimális ábrázolása kerül a képbe, és érdekes eredményeket hoz.

Amikor kifejezzük a racionális a szám tizedesként, akkor vagy a tizedes lesz pontos (mint a 1/5= 0,20) vagy lesz pontatlan (mint a, 1/3 ≈ 0,3333). Mindkét esetben kiszámítható számjegymintázat lesz. Vegye figyelembe, hogy amikor egy irracionális A számot tizedesjegyben fejezik ki, akkor egyértelműen pontatlan, mert egyébként a szám ésszerű lenne.

Sőt, nem lesz kiszámítható számjegymintázat. Például,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Most, racionális számokkal, alkalmanként találkozunk 1/11 = 0,0909090.

Mind az egyenlőségjel használata (=) és három pont (szókihagyás) azt sugallja, hogy bár nem lehet kifejezni 1/11 pontosan tizedesként, még mindig hozzá tudunk közelíteni annyi tizedes számmal, amennyire csak megengedett, hogy közel kerüljünk 1/11.

Így a 1/11 pontatlannak minősül. Ugyanebben az értelemben a  ¼ ami 0,25, pontos.

Az irracionális számok tizedes alakját tekintve mindig pontatlanok lesznek. Folytatva a √2, amikor írunk √2 = 1,41421356237… (Vegye figyelembe az ellipszis használatát), ez azonnal azt jelenti, hogy nincs tizedesérték √2 pontos lesz. Továbbá nem lesz kiszámítható számjegymintázat. A numerikus módszerekből származó fogalmak felhasználásával ismét racionálisan megközelíthetjük annyi tizedes számjegyet, amíg olyan pontig nem közelítjük meg a √2.

A racionális és irracionális számokra vonatkozó megjegyzés nem érhet véget annak a kötelező bizonyítéknak a nélkül, hogy a √2 miért irracionális. Ennek során megismerjük a klasszikus példáját is folytonos bizonyításradiction.

Tegyük fel, hogy a √2 racionális. Ez arra készteti bennünket, hogy azt mondjuk két egész szám hányadosaként p és q.

√2 = p / q

mondanom sem kell, p és q nincsenek közös tényezőik, mert ha lenne közös tényező, akkor ki is vontuk volna őket a számlálóból és a nevezőből.

Az egyenlet mindkét oldalát megkérdőjelezzük,

2 = p2 / q2

Ezt kényelmesen lehet írni,

p2 = 2q2

Az utolsó egyenlet ezt sugallja p2 egyenlő. Ez csak akkor lehetséges, ha p maga egyenletes. Ez viszont azt jelenti p2 osztható a következővel: 4. Ennélfogva, q2 és ennek következtében q egyenletesnek kell lennie. Így p és q mindkettő egyenlő, ami ellentmond annak a kezdeti feltevésünknek, hogy nincsenek közös tényezőik. Így, √2 nem lehet ésszerű. Q.E.D.