Különbség a derivált és a differenciált között

Származékos vs differenciális
 

A differenciálszámításban a függvény deriváltja és differenciálása szorosan összefüggenek, de jelentése nagyon eltérő, és a megkülönböztethető függvényekkel kapcsolatos két fontos matematikai objektum ábrázolására használják..

Mi a származékos??

A függvény deriváltja azt a sebességet méri, amellyel a függvény értéke megváltozik a bemenet változásakor. Többváltozós függvényeknél a függvény értékének változása a független változók értékeinek változásának irányától függ. Ezért ilyen esetekben egy adott irányt választunk, és a funkciót megkülönböztetjük az adott irányban. Ezt a származékot irányított származéknak nevezzük. A részleges származékok egy speciális irányított származékok.

Vektor-értékű függvény deriváltja f meghatározható határértékként bárhol is létezik véglegesen. Mint korábban említettük, ez megadja a funkció növekedésének sebességét f a vektor irányában u. Egyértékű függvény esetén ez a derivált ismert definíciójához csökken,  

Például, mindenhol megkülönböztethető, és a derivált egyenlő a határértékkel, , amely egyenlő: . A függvények származéka, mint például   mindenhol léteznek. Ezek megegyeznek a funkciókkal .                                                                                

Ez az első származék. Általában a funkció első származéka f jelölése f ⁽¹⁾. Most ezt a jelölést használva meghatározhatunk magasabb rendű származékokat. a második rendű irányított származék, amely a n^th származék f ⁽ⁿ⁾ az egyes n, ,  meghatározza a n^th derivált.

Mi a különbség??

A függvény differenciálása a függvény változását jelöli a független változó vagy változók változásaihoz képest. A szokásos jelöléssel, egy adott funkcióhoz f egyetlen változó x, az 1. rend teljes különbsége df van által adott, . Ez azt jelenti, hogy a x(azaz dx), lesz egy  f ⁽¹⁾(x) dx változás f.

A korlátozások felhasználásával ez a meghatározás az alábbiak szerint végezhető el. Tegyük fel, hogy ∆x a változás x egy tetszőleges ponton x és ∆f a függvény megfelelő változása f. Megmutatható, hogy ∆f = f ⁽¹⁾(x) Δx+ ε, ahol ϵ a hiba. Most, a határ ∆x →0^Δf/_Δx= f ⁽¹⁾(x) (a származék korábban megadott meghatározása alapján) és így ∆x →0^ε/_Δx= 0. Ennélfogva arra lehet következtetni, hogy ∆x →0ε = 0. Most, jelölve ∆-tx →0 ∆f ASDf és ∆x →0 ∆x ASDx a differenciál meghatározását szigorúan meghatározzuk. 

Például a függvény differenciája jelentése .

Két vagy több változó függvényei esetén a függvény teljes különbségét úgy határozzuk meg, hogy az egyes független változók irányaiba eső differenciálok összege legyen. Matematikailag a következőképpen állíthatjuk be: .