Származékos vs differenciális
A differenciálszámításban a függvény deriváltja és differenciálása szorosan összefüggenek, de jelentése nagyon eltérő, és a megkülönböztethető függvényekkel kapcsolatos két fontos matematikai objektum ábrázolására használják..
Mi a származékos??
A függvény deriváltja azt a sebességet méri, amellyel a függvény értéke megváltozik a bemenet változásakor. Többváltozós függvényeknél a függvény értékének változása a független változók értékeinek változásának irányától függ. Ezért ilyen esetekben egy adott irányt választunk, és a funkciót megkülönböztetjük az adott irányban. Ezt a származékot irányított származéknak nevezzük. A részleges származékok egy speciális irányított származékok.
Vektor-értékű függvény deriváltja f meghatározható határértékként bárhol is létezik véglegesen. Mint korábban említettük, ez megadja a funkció növekedésének sebességét f a vektor irányában u. Egyértékű függvény esetén ez a derivált ismert definíciójához csökken,
Például, mindenhol megkülönböztethető, és a derivált egyenlő a határértékkel, , amely egyenlő: . A függvények származéka, mint például mindenhol léteznek. Ezek megegyeznek a funkciókkal .
Ez az első származék. Általában a funkció első származéka f jelölése f (1). Most ezt a jelölést használva meghatározhatunk magasabb rendű származékokat. a második rendű irányított származék, amely a nth származék f (n) az egyes n, , meghatározza a nth derivált.
Mi a különbség??
A függvény differenciálása a függvény változását jelöli a független változó vagy változók változásaihoz képest. A szokásos jelöléssel, egy adott funkcióhoz f egyetlen változó x, az 1. rend teljes különbsége df van által adott, . Ez azt jelenti, hogy a x(azaz dx), lesz egy f (1)(x) dx változás f.
A korlátozások felhasználásával ez a meghatározás az alábbiak szerint végezhető el. Tegyük fel, hogy ∆x a változás x egy tetszőleges ponton x és ∆f a függvény megfelelő változása f. Megmutatható, hogy ∆f = f (1)(x) Δx+ ε, ahol ϵ a hiba. Most, a határ ∆x →0Δf/Δx= f (1)(x) (a származék korábban megadott meghatározása alapján) és így ∆x →0ε/Δx= 0. Ennélfogva arra lehet következtetni, hogy ∆x →0ε = 0. Most, jelölve ∆-tx →0 ∆f ASDf és ∆x →0 ∆x ASDx a differenciál meghatározását szigorúan meghatározzuk.
Például a függvény differenciája jelentése .
Két vagy több változó függvényei esetén a függvény teljes különbségét úgy határozzuk meg, hogy az egyes független változók irányaiba eső differenciálok összege legyen. Matematikailag a következőképpen állíthatjuk be: .
Mi a különbség a derivált és a differenciált között?? • A derivált a függvény változásának sebességére vonatkozik, míg a különbség a függvény tényleges változására utal, amikor a független változó változásnak van kitéve. • A származékot megadja , de a különbséget a . |