Az integráció és az összegzés közötti különbség

Integráció vs összegzés
 

A középiskolai matematikában az integráció és az összegzés gyakran megtalálható a matematikai műveletekben. Úgy tűnik, hogy különféle eszközökként és különböző helyzetekben használják őket, de nagyon szoros kapcsolatban vannak egymással.

További információ az összegzésről

Az összegzés a sorsor hozzáadása, és a műveletet gyakran a görög nagybetűs szignál jelöli Σ. Az összegzés rövidítésére szolgál, és megegyezik a sorozat összegével / összegével. Gyakran használják a sorozat ábrázolására, amelyek lényegében végtelen szekvenciák összegzése. Ezek felhasználhatók a vektorok, mátrixok vagy polinomok összegének megjelölésére is.

Az összegzést általában egy olyan értéktartományra végezzük, amelyet egy általános kifejezés reprezentálhat, például egy közös kifejezéssel rendelkező sorozatot. Az összegzés kezdő- és végpontját az összegzés alsó és felső határának nevezzük.

Például az a sorozat összege₁, egy₂, egy₃, egy₄, …, A_n egy₁ + egy₂ + egy₃ +… + A_n amely könnyen ábrázolható az mation összegző jelölésselⁿ_{i = 1} egy_én; i-t nevezzük az összegzés indexének.

Az alkalmazás alapján sok variációt használunk az összegzésre. Bizonyos esetekben a felső és az alsó határérték megadható intervallum vagy tartományként, például ∑_1≤i≤100 egy_én és ∑_{i∈ [1100]} egy_én. Vagy számhalmazként adható meg, például ∑_i∈P egy_én , ahol P egy meghatározott halmaz.

Bizonyos esetekben két vagy több jelzés is használható, de ezeket az alábbiak szerint lehet általánosítani; Σ_j Σ_k egy_jk = ∑_{j, k} egy_jk.

Ezenkívül az összegzés számos algebrai szabályt követi. Mivel a beágyazott művelet kiegészítés, az algebra számos általános szabálya alkalmazható magára az összegekre és az összegzés által ábrázolt egyes kifejezésekre is..

További információ az integrációról

Az integrációt a differenciálás fordított folyamatának tekintik. De geometriai nézetében a függvény és a tengely görbéje által bezárt területnek is tekinthető. Ezért a terület kiszámítása megadja a határozott integrál értékét az ábrán látható módon.

Képforrás: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

A határozott integrál értéke valójában a görbén és a tengelyen belüli kis csíkok összege. Az egyes szalagok területe a magasság × szélesség a figyelembe vett tengely pontján. A szélesség olyan érték, amelyet választhatunk, mondjuk ∆x. És a magasság megközelítőleg a függvény értéke a figyelembe vett ponton, mondjuk f(x_én). A diagram alapján egyértelmű, hogy minél kisebb a szalag, annál jobban illeszkednek a határolt terület belsejébe, tehát az érték jobban közelíthető.

Tehát általában a határozott integrál én, az a és b pont között (azaz az [a, b] intervallumban, ahol aén ≅ f(x₁) Ax + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, ahol n a csíkok száma (n = (b-a) / ∆x). A terület ezen összegzése könnyen ábrázolható az összegző jelöléssel én ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_én) Ax. Mivel a közelítés jobb, ha ∆x kisebb, akkor az értéket kiszámíthatjuk, ha ∆x → 0. Ezért ésszerű mondani én = lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_én) Ax.

A fenti fogalom általánosításaként az indexx-et választhatjuk az i-vel indexelt figyelembe vett intervallum alapján (a terület szélességét a helyzet alapján választva). Akkor megkapjuk

én= lim_{Ax → 0} Σⁿ_{i = 1} f(x_én) ∆x_én = _egy∫^b f(X) dx

Ezt a függvény Reimann-integráljának nevezik f(x) az [a, b] intervallumban. Ebben az esetben az a és b az integrál felső és alsó határa. A Reimann-integrál az integrációs módszerek egyik alapvető formája.

Az integráció lényegében a terület összegzése, amikor a téglalap szélessége végtelen.

Mi a különbség az integráció és az összegzés között??

• Az összegzés a számok sorozatának összeadása. Az összegzést általában ebben a formában adják meg ∑ⁿ_{i = 1} egy_én amikor a szekvencia kifejezéseinek mintázata van, és általános kifejezéssel kifejezhetők.

• Az integráció alapvetően a függvény görbéje, a tengely és a felső és alsó határ által határolt terület. Ez a terület megadható a korlátozott területhez tartozó sokkal kisebb terület összegének.

• Az összegzés a diszkrét értékeket tartalmazza a felső és alsó határral, míg az integráció folyamatos értékeket foglal magában.

• Az integráció az összegzés speciális formájaként értelmezhető.

• A numerikus számítási módszerekben az integrációt mindig összegzésként hajtják végre.