Különbség a véletlenszerű változók és a valószínűségi eloszlás között

Véletlen változók vs valószínűségi eloszlás

A statisztikai kísérletek véletlenszerű kísérletek, amelyek határozatlan időre megismételhetők egy ismert eredményhalommal. Az ilyen kísérletekhez mind a véletlenszerű változók, mind a valószínűségi eloszlások társulnak. Minden véletlen változóhoz tartozik egy kapcsolódó valószínűség-eloszlás, amelyet egy kumulatív eloszlási függvénynek nevezett függvény határoz meg.

Mi egy véletlen változó??

A véletlen változó olyan függvény, amely numerikus értékeket rendel hozzá a statisztikai kísérlet kimeneteleihez. Más szavakkal, ez egy olyan statisztikai kísérlet mintavéréből a valós szám halmazba definiált függvény.

Például fontoljon meg egy véletlenszerű kísérletet egy érme kétszer történő megfordításáról. A lehetséges eredmények HH, HT, TH és TT (H-fejek, T-történetek). Legyen X változó a kísérletben megfigyelt fejszám. Ezután X vehet fel 0, 1 vagy 2 értékeket, és ez egy véletlen változó. Itt az X véletlen változó az S = HH, HT, TH, TT halmazt (a mintaterületet) a 0, 1, 2 halmazra térképezi oly módon, hogy a HH 2-re, HT-re és TH-re legyen leképezve. 1-re és TT-t 0-ra. A függvényjelben ezt X-ként írhatjuk: S → R ahol X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 és X ( TT) = 0.

Kétféle véletlenszerű változó létezik: diszkrét és folyamatos, ennek megfelelően a véletlenszerű változó által feltételezhető lehetséges értékek száma legfeljebb megszámolható, vagy sem. Az előző példában az X véletlen változó diszkrét véletlen változó, mivel a 0, 1, 2 véges halmaz. Most fontolja meg egy osztályban a hallgatók súlyának megállapításához szükséges statisztikai kísérletet. Legyen Y egy véletlenszerű változó, amelyet egy tanuló súlyaként definiálunk. Y egy meghatározott intervallumon belül bármilyen valós értéket felvehet. Ezért Y egy folyamatos véletlen változó.

Mi a valószínűségi eloszlás??

A valószínűségi eloszlás egy olyan funkció, amely leírja annak a valószínűségét, hogy egy véletlen változó bizonyos értékeket vesz.

A kumulatív eloszlási függvénynek (F) nevezett függvény meghatározható a valós számok halmazától a valós számok halmazáig, ha F (x) = P (X ≤ x) (X valószínűsége kisebb vagy egyenlő x-vel) minden lehetséges eredmény x. Most az X példában az összesített eloszlási függvényt F (a) = 0 lehet írni, ha a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Diszkrét véletlen változók esetén egy függvény meghatározható a lehetséges kimeneti halmaztól a valós szám halmazáig oly módon, hogy ƒ (x) = P (X = x) (X valószínűsége, hogy x-vel egyenlő) minden lehetséges eredményre x. Ezt az ƒ függvényt nevezzük az X véletlen változó valószínűségi tömegfüggvényének. Most az X első valódi valószínűségi tömegfüggvénye ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, egyébként ƒ (x) = 0. Így a valószínűségi tömegfüggvény és a halmozott eloszlási függvény leírja X első valószínűség-eloszlását az első példában.

Folyamatos véletlen változók esetén a valószínűség-sűrűségfüggvénynek (ƒ) nevezett függvényt ƒ (x) = dF (x) / dx-ként definiálhatjuk minden x esetében, ahol F a folyamatos véletlen változó kumulatív eloszlási függvénye. Könnyű belátni, hogy ez a függvény megfelel-e ∫ƒ (x) dx = 1-nek. A valószínűségi sűrűségfüggvény és a kumulatív eloszlási függvény leírja a folyamatos véletlen változó valószínűség-eloszlását. Például a normál eloszlást (amely egy folyamatos valószínűség-eloszlás) a bility (x) = 1 / √ (2πσ) valószínűségi sűrűségfüggvény alkalmazásával írják le.²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).