Különbség a Riemann Integral és a Lebesgue Integral között

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Az integráció a kalkulus fő témája. Tág értelemben az integráció a differenciálás fordított folyamatának tekinthető. A valós problémák modellezésekor könnyű kifejezéseket írni származékokkal. Ilyen helyzetben az integrációs művelethez meg kell találni a függvényt, amely megadta az adott származékot.

Más szempontból az integráció egy olyan folyamat, amely összeadja a ƒ (x) és δx függvény szorzatát, ahol a δ egy bizonyos határérték. Ezért használjuk az integrációs szimbólumot ∫-ként. A ∫ szimbólum valójában az, amit az s betűk összegének megadásával nyerünk.

Riemann Integral

Vegyünk egy y = ƒ (x) függvényt. Az y integrálja a között egy és b, hol egy és b tartoznak egy x halmazba, úgy írják, mint _b∫^egyƒ (x) dx = [F(x)]_egy→b = F(b) - F(egy). Ezt nevezzük az y = ƒ (x) egyértékű és folyamatos függvény határozott integrálának az a és b között. Ez megadja a görbe alatti területet a egy és b. Ezt Riemann-integrálnak is nevezik. A Riemann-integrált Bernhard Riemann hozta létre. A folytonos függvény Riemann-integrálja a Jordán-féle mérésen alapul, ezért a függvény Riemann-összegeinek határértékének is nevezik. Egy zárt intervallumban definiált valós érték függvényében a függvény Riemann-integrálja az x partícióhoz viszonyítva₁, x₂,… , x_n az [a, b] és t intervallumon definiálva₁, t₂,…, T_n, ahol x_én ≤ t_én ≤ x_{i + 1} mindegyik i ε 1, 2,…, n esetén a Riemann-összeget as-nak kell meghatározni_{i = o-n-1} ƒ (t_én)(x_{i + 1} - x_én).

Lebesgue Integral

A Lebesgue az integrál másik típusa, amely az esetek sokféleségére kiterjed, mint a Riemann-integrál. A lebesgue-integrált Henri Lebesgue vezette be 1902-ben. A Legesgue-integráció a Riemann-integráció általánosításának tekinthető..

Miért kell tanulnunk egy újabb integrált??

Vegyük figyelembe a jellemző funkciót ƒ_{A (x) = 0, ha, x nem ε A}^{1, ha, x ε A} Az A halmazon. Ezután a jellemző függvények véges lineáris kombinációja, amelyet: F(x) = Σ a_énƒE_én(x) az egyszerű függvény, ha E_én mérhető minden i-re. A Lebesgue integrálja F(x) felett E jelölése _E∫ ƒ (x) dx. A funkció F(x) nem integrálható Riemann-nal. Ezért a Lebesgue-integrál a Riemann-integrál újrafogalmazása, amely korlátozza az integrálandó funkciókat.