Különbség a kölcsönösen kizáró és független események között

Kölcsönösen kizárólagos és független események

Az emberek gyakran összekeverik a kölcsönösen kizáró események fogalmát a független eseményekkel. Valójában ez két különféle dolog.

Legyen A és B bármilyen két esemény, amely egy véletlenszerű E kísérlethez kapcsolódik. A P (A) -et „A valószínűsége” -nek nevezzük. Hasonlóképpen definiálhatjuk B valószínűségét P (B) -ként, A vagy B valószínűségét P-ként (A∪B), valamint A és B valószínűségét P-ként (A∩B). Ezután P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Két eseményt azonban mondtak egymást kizárónak, ha az egyik esemény nem befolyásolja a másikot. Más szavakkal, nem fordulhatnak elő egyszerre. Ezért ha két A és B esemény kölcsönösen kizárják egymást, akkor A∩B = ∅, és ez azt jelenti, hogy P (A∪B) = P (A) + P (B).

Legyen A és B két esemény az S mintaterületen. A feltételes valószínűségét, mivel B történt, P (A | B) -vel jelöljük, és az alábbiak szerint definiálhatók; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), feltéve, hogy P (B)> 0. (egyébként nincs meghatározva.)

Azt mondják, hogy egy A esemény független a B eseménytől, ha az A bekövetkezésének valószínűségét nem befolyásolja, hogy B történt-e vagy sem. Más szóval, a B esemény kimenetele nincs hatással az A esemény eredményére. Ezért P (A | B) = P (A). Hasonlóképpen, B független A-tól, ha P (B) = P (B | A). Ennélfogva arra a következtetésre juthatunk, hogy ha A és B egymástól független események, akkor P (A∩B) = P (A) .P (B)

Tegyük fel, hogy egy számozott kocka gördült és egy tisztességes érme megfordult. Legyen A az az esemény, amely egy fej megszerzését, és B az az esemény, amely páros számot gördít. Ezután megállapíthatjuk, hogy az A és B események függetlenek, mivel az egyik kimenetele nem befolyásolja a másik kimenetelét. Ezért P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Mivel P (A∩B) ≠ 0, az A és B nem zárhatják ki egymást.

Tegyük fel, hogy egy urna 7 fehér és 8 fekete gömböt tartalmaz. Definiálja az A eseményt egy fehér márvány rajzolásaként, a B eseményt pedig mint egy fekete márvány rajzolását. Feltételezve, hogy az egyes márványokat cseréljük le, miután meghatározták a színüket, akkor P (A) és P (B) mindig azonosak lesznek, függetlenül attól, hogy hányszor húzunk az urnaból. A golyók cseréje azt jelenti, hogy a valószínűségek nem változnak a rajzolástól a rajzolásig, függetlenül attól, milyen színt választottunk az utolsó sorsoláson. Ezért az A és B esemény független.

Ha azonban márványokat rajzoltak csere nélkül, akkor minden megváltozik. Ennek a feltételezésnek az alapján az A és B események nem függetlenek. Fehér márvány rajzolásakor először megváltozik a valószínűsége annak, hogy a második márvány rajzol egy fekete márványt, és így tovább. Más szavakkal, minden sorsolásnak van hatása a következő sorsolásra, tehát az egyes sorsolások nem függetlenek.